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高中数学柯西不等式(什么是柯西不等式?它的一般形式是什么)
发布时间：2022-10-21 22:51 点击：次
可以啊，很容易。柯西不等式可以简单地记做：平方和的积≥积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。如：两列数0，1和2，3有(0^2+1^2)*(2^2+3^2)=26≥(0*2+1*3)^2=9.形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式。还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开，化成一组平方和的形式。我这里只给出前一种证法。Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则我们知道恒有f(x)≥0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移项得到结论。学了更多的数学以后就知道，这个不等式可以推广到一般的内积空间中，那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。